三总体方差σ2未知对总体平均数的估计（第1页）

三、总体方差σ2未知，对总体平均数的估计

解：①利用公式7-2，求标准误差

②求0.95的置信区间

当n1=10时，df1=9，查t值表得t0.052=2.262

78-2.262×2.67＜μ＜78+2.262×2.6771.96＜μ＜84.04

当n2=36时，df2=35，查t值表得t0.052=2.042（因t值表中没有df=35的表列值，一般为使推论更有把握，用较小的自由度取近似值，本例中取df=30）

79-2.042×1.52＜μ＜79+2.042×1.52

75.9＜μ＜82.1

答：计算结果表明，据第一组样本估计的总体参数μ有95%的可能性落在71.96～84.04之间。据第二组样本估计的总体参数μ有95%的可能性落在75.9～82.1之间。作出这样的结论，估计正确的概率为0.95，错误的概率为0.05。

在这道题目中，两样本的n大小不等，估计的区间长度不同。显然，样本较大的置信估计具有更大优越性：置信区间长度小，样本更接近μ。由于n＞30时t值分布渐近正态分布，故亦可用Zα2代替tα2作近似计算，也可免去查表的麻烦。在【例7-3】中，样本数为35的这一组置信区间的结果就变为76＜μ＜82，与用t0.052（35）计算的结果相差甚微。另外，总体方差未知时，查t值表所求总体参数μ的置信区间的解释，与正态分布的解释也相同。

【例7-4】某班49人期末考试成绩为85分，标准差s=6，假设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班学生学习的真实成绩分数。

解：此题属于方差未知，分数分布难以保证正态，但n＞30。可以进行计算，并能够推论。

查t0.052（40）=2.021（取df=40的值，因为表中无df=48的t0.052值）

0.95的置信区间为：85±2.021×0.866=83.25～86.75

答：该班学生的真实成绩在83.25～86.75之间，作此结论正确的概率为0.95，错误的概率为0.05。

【例7-4】也可取0.99的置信区间，这根据实际需要而定。在实际应用中，【例7-4】的情况要比【例7-2】的情况较多出现。故方差未知情况的区间估计是经常用到的一种统计分析方法。

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