三决定系数（第1页）

三、决定系数

经过回归方程的方差分析或回归系数的显著检验，解决了回归方程是否显著（或者说X与Y有否显著线性关系）的问题，在回归分析中还经常关心回归效果的问题（或者说X与Y的线性关系的程度问题）。

在回归方程的方差分析中曾指出，回归平方和对总平方和的贡献越大，说明回归方程越显著，因而回归平方和在总平方和中所占的比例是评价回归效果的一个指标。这个比例越大回归效果越好，若这个比例达到1，则表明此时Y的变异完全由X的变异来解释，没有误差。若比率为零，则说明Y的变异与X无关，回归方程无效。

从公式12-16可知，回归平方和

又∵

∴

相关系数的平方等于回归平方和在总平方和中所占比例。如果r2=0.64，表明变量Y的变异中有64%是由变量X的变异引起的，或者说有64%可以由X的变异解释。所以r2叫做决定系数（tofdeterminaton）。

从前面的分析可知，回归平方和至多等于总平方和，一般都小于总平方和。两变量的共变部分的比例小于或等于1。即：

r2≤1所以-1≤r≤1

图12-6比较直观地解释了相关系数r的取值范围。

图12-6决定系数示意图

用决定系数r2解释两变量共变的比例，不但在回归分析中应用，对于其他许多问题的解释也具有重要的意义。例如，在心理与教育测验中常要求信度系数（即相关系数）在0.90左右，才能说某个测验可信。初学者对于这一点不易理解。常常认为信度系数显著就应当承认这个测验可信。如某测验前后两次施测的相关系数为0.50（即该测验的再测信度系数），在样本不太小的情况下查相关系数的显著性用表，结果非常显著，就误认为这个测验信度很高。其实，相关系数显著只是否定了ρ=0，即表明两变量确实存在相关，然而相关系数显著不等于高相关。r=0.50时，r2=0.25，这时该测验两次施测结果的共同变异（变异的一致性）仅占25%，这个测验的稳定性太差了。规定信度系数0.90左右，r2=0.81，保证共变部分不少于80%是稳定性的起码要求。

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